校長→附高生:23(01/23):複素数再び

 

先週,神谷先生の授業を参観したら, 1年4組で複素数の導入を扱っていました。

  • 複素数は「ある」のか? imaginary number だから, 想像上の数, なんていう話もありました。
  • 「数」って, 不思議な存在です。
  • 哲学者のカントという人は, 数や空間の認識は純粋直観という位置づけをしていましたが, そういう直観的にみんなが持っているはずのものとして, たとえば, 自然数は当たり前のように思えますが, たしかに複素数はそういう直観を越えています。
  • 一方, 数を「きちんとつくる」のが数学者の仕事とすると, 自然数だって, 整数だって, 有理数だって, 数はすべて何かから「構成」するのです。
  • それが「妥当」かどうかは, いろいろな基準で検討するわけですが, たとえば, 今回のように「方程式」の観点で考えるときには, 「こんな方程式は今まで解けなかったけど, こういう数をつくることで解けるようになった」という基準で考えます。
  • すると, 次のように見直すことができます。
    • 自然数では解けなかったけど, 整数にしたら解けるようになった方程式
      • x + 5 = 0
    • 整数ではとけなかったげど, 有理数にしたら解けるようになった方程式
      • 5x + 3 = 0
    • 有理数ではとけなかったげど, 実数にしたら解けるようになった方程式
      • x2 – 2 = 0
    • 今回の, 「実数では解けなかったけど, 複素数にしたら解けるようになった方程式」
      • x<sup2< sup=””> + 1 = 0
  • 複素数でも解けない方程式って, あるのかな?

問題

  • 次の方程式は, 複素数で解けるのだろうか。
    • (1) x4 + 1 = 0
    • (2) x2017 – 1 = 0
    • (3) x2 + i = 0
    • (4) ix2 + 1 = 0
    • (5) (1+i)x2 + (1-i)x + (2+i) = 0