校長→附高生:08(10/17):複素数解の視覚化

 

  • 飯島校長は高校2年生のとき,部活(放送部)の後輩に, こんなことを言われた。

 

虚数って, ウソの数だから, 本当はないんでしょ。

  • いや, それは imaginary number の和訳がよくなかったから生まれる誤解。
  • …でも, よくある誤解かもしれない。
  • そうだ。「視覚化」してみると, なんとなく「ある」気になったりする。
  • 今回はそれを問題にしよう。

問題

  • 2次方程式 x2+x+1=0 には, 実数解はない。
  • それをわかりやすく示すのが, 次の 2次関数 y = x2+x+1 のグラフである。

  • 一方, 世界を複素数まで広げると, この方程式は解を持つ。
  • それをグラフでも実感したい。
  • 複素数(2次元)→複素数(2次元)のすべての様子を表現するには4次元が必要になるので, その一部に限定されるが, 「値が実数になる場合」を考え, 次をつくりたい。

定義域だけを複素数全体に拡張したグラフ

  • 3次元(xy平面を複素数(定義域)とし, z軸を実数(地域)とする)の中でどんなグラフになるだろう。