校長→附高生:05(9/26):有理数? 無理数?

 

  • 飯島校長は自分が開発したソフト(図形を動かして調べるソフト GC/html5)を使った授業を, よその高校で出前授業することもある。
  • たとえば, 今回の問題は, 昨年, 埼玉県立熊谷西高校(SSH)に伺う機会があり, そのときのためにつくった問題だ。
  • みなさんは解決できるだろうか。
    • なお, 実際に授業の中で扱ったのは, (時間の関係で)下記の(1)のみだった。

問題

  • 平面の中で, x座標もy座標も整数になる点を格子点という。
  • 格子点Aと格子点Bの距離を測り, できるだけ詳しく測定値を表示すると, 次のように, 整数になるときと, ずっと続くときとある。
  • 「ずっと続く」といいながらも, せいぜい小数点以下15位までしかわからないので, その後永遠に続くのか, 途中で止まるのか, また有理数(循環する)になるのか, 無理数(循環しない)のか, わからない。

  • 次のようなのを見ると,このあとずっと「26」が繰り返すような気もする。

    • (1) ABが斜めになるとき, 「5」のように, ぴったり整数になる場合は, (本質的に)無限個あるのだろうか。
      • (「5」の倍数の10,15,.. はあるはずだけど, これらは本質的には一つと考えよう。)
    • (2) 整数でない場合は, 無理数のように思えるが, 有理数になることもあるのだろうか。
    • (3) 数学は「美しさ」にこだわる。(1),(2)をできるだけカッコいい命題の形で表現してみよう。

実際に動かして実験してみるなら次の図をクリック

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